Круг 2. Производная функции. Исследование функциий с помощью производных
ПGeoGebra вычисляет производные функций любого порядка и строит графики этих производных. Обозначение производной стандартное - f'(x). Соответственно, вторая производная обозначается f''(x) и т.д.
Этот инструмент позволяет использовать GeoGebra не только, как калькулятор для вычисления производной, но и проводить различные исследования для выявления свойств функции по поведению ее первой и второй производной. Речь идет о свойстве монотонности функции в зависимости от знака первой производной и свойстве выпуклости функции в зависимости от знака второй производной. Здесь же можно проверить свойство смены знака производной в точках экстремума, а также смены знака второй производной в точках перегиба графика функции.
Пример 1. Исследование функции
Для высшей школы можно использовать этот инструмент для исследования сходимости ряда Тейлора конкретных функций (поведение последовательности частичных сумм ряда Тейлора).
Пример 2. Исследование ряда Тейлора. Составить последовательность многочленов Тейлора (частичных сумм ряда Тейлора-Маклорена) для функции y=e^x и построить их графики.
Решение этой задачи можно посмотреть ЗДЕСЬ.
Этот инструмент позволяет использовать GeoGebra не только, как калькулятор для вычисления производной, но и проводить различные исследования для выявления свойств функции по поведению ее первой и второй производной. Речь идет о свойстве монотонности функции в зависимости от знака первой производной и свойстве выпуклости функции в зависимости от знака второй производной. Здесь же можно проверить свойство смены знака производной в точках экстремума, а также смены знака второй производной в точках перегиба графика функции.
Пример 1. Исследование функции
f(x) = (x - 2)² (x + 2)²/16
с помощью первой и второй производной.
Результаты исследования приведены на следующей схеме:
Для высшей школы можно использовать этот инструмент для исследования сходимости ряда Тейлора конкретных функций (поведение последовательности частичных сумм ряда Тейлора).
Пример 2. Исследование ряда Тейлора. Составить последовательность многочленов Тейлора (частичных сумм ряда Тейлора-Маклорена) для функции y=e^x и построить их графики.
Решение этой задачи можно посмотреть ЗДЕСЬ.
Практическое задание
Обязательным является выполнение любых двух из предложенных трех сценариев:
- Сценарий 1. Вычислить вторую производную функции у=x^x и построить ее график.
- Сценарий 2. Построить в одной системе координат график функции f(x), ее первой и второй производной. Выделите на графике точки экстремума и точки перегиба.
- Сценарий 3. Составьте многочлен Тейлора 4-го порядка для функции y=ln(x+1) и нарисуйте графики исходной функции и многочлена Тейлора.
- Сценарий 1. Вычислить вторую производную функции у=x^x и построить ее график.
- Сценарий 2. Построить в одной системе координат график функции f(x), ее первой и второй производной. Выделите на графике точки экстремума и точки перегиба.
- Сценарий 3. Составьте многочлен Тейлора 4-го порядка для функции y=ln(x+1) и нарисуйте графики исходной функции и многочлена Тейлора.
Отчетные материалы
- В каждом из сценариев вам нужно приготовить "картинки" с отчетными материалами. На картинках должны быть четко видны решения тех заданий, которые содержатся в соответствующем сценарии. На картинках должны быть не только графики функций (панель ПОЛОТНО), но и данные панели объектов.
- В вашем ПЖ должны появиться слайды (или один слайд) с заголовком ТРЕК 6. GG. На слайде вы должны разместить ваши исследования в рамках сценариев. Вставленные картинки на слайд следует подписать и прокомментировать, по возможности, выделить на картинке те объекты, которые требуют этого.
- В таблице ТР в соответствующих столбцах трека 6 записать слово "готово".
Комментариев нет:
Отправить комментарий